物理期末复习

大二上期末

基础物理学

现在正式开始复习基物B，接下来会在这里记录我的复习进度。希望我的复习过程能给你一些感悟！

章节总结

基础物理学B（2）主要研究热学，气体动理论，分子物理，振动，波动，光学，量子物理。其中这些部分都有交集，难度最大的应该是量子物理，可是根据往年题来说，占比并不大。

气体动理论

公式回顾

1.理想气体状态方程

• $PV=\frac{m}{M_{mol}}RT$

• $P=nkT$

• $PM_{mol}=ρRT$

第三个公式对于某些题目来说尤为重要，不失为一种二级结论，虽然不是课本上总结的公式，但推导起来是很容易的。

2.理想气体压强公式

• $P=\frac{2}{3}n(\frac{1}{2}m\overline{v^2})$

• $P=\frac{2}{3}n\overline{E_k}$

3.温度的统计意义

• $\overline{E_k}=\frac{3}{2}kT$

这个地方的k是物质的量！！！

4.能量均分定理

• $E_k=\frac{i}{2}kT$

5.理想气体的内能

• $E=\frac{m}{M_{mol}}\frac{i}{2}RT$

6.麦克斯韦速率分布函数

• $f(v)=4\pi(\frac{m}{2\pi kT})^\frac{3}{2}e^{-\frac{mv^2}{2kT}}v^2$

7.三种特征速率

(1) 最概然速率

• $v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m}}=\sqrt{\frac{2RT}{M_{mol}}}$

(2) 平均速率

• $\overline{v}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{mol}}}$

(3) 方均根速率

• $\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3RT}{M_{mol}}}$

8.玻尔兹曼能量分布律

(1)分子数密度按势能分布

• $n=n_0e^{-\frac{E_p}{kT}}$

(2)分子数密度按高度分布

• $n=n_0e^{-\frac{mgz}{kT}}$

(3)等温气压公式

• $P=P_0e^{-\frac{M}{RT}gz}$

9.气体分子平均碰撞频率及平均自由程

• $\overline{Z}=\sqrt{2}\pi d^2\overline{v}n$

• $\overline{\lambda}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n}=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2P}$

总的来说，气体动理论就这些公式，其中值得关注的是一些符号的含义，PVT不用多说，需要注意的是n在这里均是分子数密度，即：

• $n=\frac{N}{V}$

然后就是R，即摩尔气体常量：

• $R=8.31Jmol^{-1}K^{-1}$

以及玻尔兹曼常量k：

• $k=1.38×10^{-23}J/K$

习题及公式应用

第三题考察对方均根和最概然速率公式的记忆，代入上面的公式，很容易得到第一个空为$\frac{3}{2}$,第二个空涉及到我提到的关于ρ的理想气体方程，代入可以知道$\frac{RT}{M_{mol}}=\frac{P}{ρ}$,所以答案为$\sqrt{\frac{3P}{\rho}}$

同样，第四题也是考察对公式的记忆，压强变为一半，体积翻倍，密度变为原值的$\frac{1}{2}$，平均自由程公式为$\overline{\lambda}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n}=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2P}$，故平均自由程为原始的两倍

这道题与上面的题不一样，考察到了麦克斯韦速率分布函数，第一个空用$\epsilon$替代v，有$v=\sqrt{\frac{2\epsilon}{m}}$,代入得到$f(\epsilon)d\epsilon=\frac{2}{\sqrt{\pi}}(kT)^\frac{-3}{2}e^{-\frac{\epsilon}{kT}}\epsilon^{\frac{1}{2}}d\epsilon$,最概然值即是它的极值，对$f(\epsilon)$求导等于0，得到$\epsilon_p=\frac{1}{2}kT$，作为计算题的第一道题，计算起来实在是需要一点耐心

补充一个关于麦克斯韦速率分布函数的定义：

• $f(v)=\frac{dN}{Ndv}$,是某个速度区间的分子数量占全体分子数量的比例！

补充了上面这个定义，那我们来看看下面这道题，$f(v)$是麦克斯韦分布函数，那么$f(v)dv=\frac{dN}{N}$，既然都是$\frac{dN}{N}$了，那肯定不是$0-∞$，是$v-v+dv$，故选A，然后看CD，$Nf(v)$是速率在这个区间里面的分子数，除以$V$,就是单位体积内的分子数，C是对的，选AC，分子数密度的定义就是单位体积内的分子数，别忘了，D也得选上！

好了，由于气体动理论在考试中的占比实在太小，我们暂且复习到这里，接下来开始进入热力学基础。

热力学基础

公式回顾

同气体动理论，先来回忆回忆公式

1.功，热量，内能

(1)准静态过程的功

• $A=\int_{V_1}^{V_2}pdV$,即pV图像的面积

(2)热量，内能

• $Q=\frac{m}{M_{mol}}\int_{T_1}^{T_2}C_mdT$

(3)内能变化

• $E_2-E_1=\frac{m}{M_{mol}}\frac{i}{2}R(T_2-T_1)$

2.热力学第一定律

• $Q=E_2-E_1+A$

• 微分形式： $dQ=dE+dA$

3.摩尔热容

• $C_m=\frac{1}{v}\lim_{\Delta T \to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta T}$

• 定体摩尔热容：$C_{V,m}=\frac{i}{2}R$

• 定压摩尔热容：$C_{p,m}=\frac{i+2}{2}R$

• 迈耶公式：$C_{p,m}=C_{V,m}+R$

• 比热容比：$\gamma=\frac{C_{p,m}}{C_{V,m}}=\frac{i+2}{i}$

4.循环过程

• 热机效率： $\eta=\frac{A}{Q_1}=1-\frac{|Q_2|}{Q_1}$

• 卡诺热机效率： $\eta=1-\frac{T_2}{T_1}$

• 致冷效率： $\omega=\frac{Q_2}{|A|}=\frac{Q_2}{|Q_1|-Q_2}$

• 卡诺致冷系数 $\omega=\frac{T_2}{T_1-T_2}$

• $Q_1=与高温热源交换的热量 Q_2=与低温热源交换的热量 A=对外界或者外界对系统做的功$

  $T_1=高温热源的绝对温度 T_2=低温热源的绝对温度$

5.热力学第二定律

• 开尔文表述:不可能从单一热源吸取热量，使它完全变为有用功而不引起其他变化，即功热转化是不可逆的。
• 克劳修斯表述:不可能使热量从低温物体传向高温物体而不引起其他变化，即热传递过程是不可逆的。
• 热力学第二定律的统计意义：自发宏观过程总是沿着系统热力学概率增大的方向进行，或者说自发宏观过程是沿着热运动更无序的方向进行的。

6.熵

• 玻尔兹曼熵： $S=k\ln\Omega$
• 克劳修斯熵： $\Delta S=S_2-S_1=\int_1^2\frac{dQ}{T}$
• 熵增加原理： 对于孤立系统的任意过程，熵永不减少
  即$dS\ge 0$，$dS\gt 0$为不可逆过程，$dS= 0$为可逆过程

习题及公式应用

依旧来做题

做这道题之前，还要补充一个刚刚没有提到的公式，即理想气体的熵变公式：

• $\Delta S=nC_v\ln(\frac{T_2}{T_1})+nR\ln(\frac{V_2}{V_1})$

有了这个公式之后，第一个空显然更好分析，对于AB,AC,AD三条曲线，它们的$\frac{V_2}{V_1}$相等，$\frac{T_2}{T_1}$AB最大，因此熵增加最多，AD曲线$\Delta Q=0$,熵增加为0

机械振动

机械波

波动光学

近代物理基础